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§. 268.

II. Derselbe Schlufs wird sich auch auf das Volum derjeni-gen Körper anwenden lassen , welche durch Rotation der Flächeeiner symmetrischen Curve um irgend eine Axe entstehen. Wienämlich, nach der Gleichung (F), die Obexdläche dieser Körper

Kreises, dessen Halbmesser Y ist, betrachtet worden ist, so wird

dieser Curve (die man nach Cap. 3o findet) in die Peripherie2 itY desselben Kreises dargestellt werden, so dafs man dem-nach für das Volum dieser Körper den Ausdruck haben wird:

ln der Statik oder in der Lehre von dem Gleichgewichte

Schwerpuncles bekannt.

Gehen wir nun zu der Anwendung der beyden allgemeinenGleichungen (F) und (G) über, und betrachten wir zuerst einigeeinfache geradlinige Figuren,

§. 2b8. (Körper, die durch Rotation eines regel-

Kreises, der einem regelmäfsigen, d. h. einem gleichseitigenDreyecke umschrieben ist, so hat man (nach (jj. 121 .) die Seite

Nennt man daher Y = d die senkrechte Distanz des Mittel-punctes dieses Dreyeckes von seiner Rotationsaxe , so hat manfür die Oberfläche 0 , und für das Volum V des Körpers, der

steht, nach den Gleichungen (F) und (G) die Ausdrücke

0 = 6 a d 7z und

V — \a?-d7z\f 3.

I. Dreht sich demnach das Drcyeck ABC (Fig. 106 ) um einedurch seinen Scheitel C mit der Basis AB parallel gehende Axe,so ist d = a, also auch

als das Product des Umfangs S der Curve in die Peripherie des

auch das Volum V dieser Körper durch das Product der Fläche F

V == 2 ® ,YF . . . (G).

der Körper ist dieser Mittelpunct unter der Benennung des

mäfsigen Dreyeckes

entstehen-) Ist a der Halbmesser des

dieses Dreyeckes gleich a\f3, also auch für den Umfang S unddie Oberfläche F desselben

S = 3 a \/3 und F = 3.

durch Rotation des gleichseitigen Dreyeckes um jene Axe ent-

0 ' = 6 ci l x und V

a

a 3 k