§. 2Ö5.

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B, Wenn sich aber dieselbe Cyclois um die Tangente DEdes höchsten Punctes D dreht, so hat man

x = a (p -f- Sin p) ,y = a(i — Cosp),

und daher auch

V' = JT fy z dx — (6p — 3 Sinp — 3 Sin 2 p -{- Sin 3p).

Nimmt man diesen Werth für p = ar doppelt, so erhält man

V == a 3 JT 2

für den Körper, der durch Rotation der doppelten Fläche AMDEum DE entsteht, welcher Köi'per demnach der Axe DE seineconvexe Seite zuwendet.

Es ist demnach, wenn man diesen Werth von V' mit demV der Nr. A. vergleicht:

V = 5 r.

Wenn aber das Rechteck, dessen zwey Seiten AB und AEsind, um dieselbe Axe DE gedreht wird, so entsteht ein Cylin-der, dessen Volum gleich 8a s i* ist. Zieht man davon das Vo-lum V = a 3 rc 2 ab, so erhält man

7 a? Tr 2

für das Volum des Körpers, der durch Rotation der FlächeAMDBCA um DE entsteht.

C. Wenn sich ferner die Cyclois um die Axe CD dicht, sohat man

x = a (i — Cos p ),y = a (p -(- Sin p) ,

und daher auch

y- dx — a 3 dp (p 2 Sin p -|- 2 p Sin 2 p -j- Sin 3 p) ,also auch für das gesuchte VolumV" = a 3 x [p 2 (i — Cos p) + 2 p (Sin p — Sin 2 p) ‘

-{- |Cosp —• Cos 2 p -{- Ti- Cos 3p — -jj.

Für p = ar gibt dieser Ausdruck

7 rtt 3 Os* 71 p „

/ = - 7c~ —

2 L

ll 19 J >

oder das Volum des Körpers, der durch Rotation der FlächeAMDC um CD entsteht.

D. Wenn sich endlich die cycloidischc Fläche um die Tan-