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§. 252.

wo p —

die partiellen Differentialien von s

in Beziehung auf x und auf y bezeichnen, die man aus der gege-benen Gleichung der krummen Fläche ebenfalls als gegeben an-nimmt. — ln der Bestimmung dieses Integrals besteht die soge-nannte Complanalion der Flächen.

I. Einfacher wird dieser Ausdruck für solche krumme Flä-chen, die durch die Rotation einer gegebenen Curve um einefeste Gerade entstehen.

Nimmt man die Axe der x in dieser lixen Geraden , undschneidet man dann die Rotationsfläche durch zwey einandernächste, auf dieser Axe der x senkrecht stehende Ebenen PMund PM. (Fig. 97 oder Fig. 97 , A.) , so werden diese SchnitteKreise seyn, deren Mittelpuncte P, P'. . . in der RotationsaxeAX liegen, und deren Halbmesser PM , P M die Ordinaten y derCurve MNQ ausdrücken, durch deren Rotation um die fixe Ge-rade AX jene Fläche entstanden ist.

Die Peripherie des Kreises, zu welchem der HalbmesserPM=y gehört, wird gleich Zny, und die des nächstfolgendenKreises, zu welchem der Halbmesser P r M' = y-\-dy gehört,wird gleich 2 (y -j- dy) seyn. Zwischen beyden Peripherienwird sich ein ringförmiger Theil der gesuchten Oberfläche desRotationskörpers befinden, den man, da MM mit der TangenteTM der Curve NMQ zusammenfällt, als die Oberfläche einesabgestumpften Kegels betrachten kann, von welchem die Halb-messer der beyden Grundflächen

r=y und R = y dy,und von welchen die Seitenlinie m oder

M M' = d s = \f dx % dy 2

das Element des Bogens der gegebenen Curve NMQ ist, so dafsman daher für die Oberfläche dieses abgestumpften Kegels, d. h.für das gesuchte Element der Rotationsfläche (nach §. tö3.) hat:d<b = (R -j- 7’) m x ,

oder, wenn man die vorhergehenden Werthe von R, r und m = dssubstituirt:

= (%y -]- dy) 7zds ,

das heifst, nach dem oben aufgcstelllen Princip der Differential-rechnung: