Ein und ilreyfsigstes Capitel.

Complanation tler Flächen.

25‘j. (Element der krummen Oberflächen.)

Wenn man, wie in §216, die krumme Oberfläche eines Körpersdurch zwey nächste der xz parallele Ebenen MQ()"und NR R"(Fig. 101), und eben so durch zwey andere nächste derjy zparallelenEbenen MQ P und M'Q'P schneidet, so erhält man dadurch einenvon diesen vier Flächen eingeschlossenen Theil MNM'N' der Ober-fläche <I> des Körpers, den man als das Element d& dieser Ober-fläche betrachten kann.

Dieselben vier, auf der Ebene der xy senkrechten Ebenenschliefsen aber auch, in dieser Ebene, das ebene Rechteck QRQ'R!ein, und da QQz=PP'=dx, Q R = Q"R!'= dy ist, so ist dieFläche dieses Rechteckes Q Fi Q R' (nach §. ij8.) gleich dem Pro-ducte dx.dy.

Allein dieses Rechteck ist zugleich die Projection (§. 181, I.)des Vierecks MNM N' oder des Elements d& der krummen Fläche,so dafs daher, nach der a. a. O. gegebenen Erklärung der Projec-tion, wenn n die Neigung der unendlich kleinen Ebene MNM'N'gegen die coordinirte Ebene der xy bezeichnet, die Gleichungbestehen wird:

d<l>. Cos n = dxdy.

Diese Neigung n ist aber identisch mit der Neigung der diekrumme Fläche in M berührenden Ebene gegen dieselbe Ebeneder xy, und da (nach §, 216, III.) dieser Winkel n durch dieGleichung

Cos« = — ■

V < + p 2 + <7 2

erhalten wird, so ist auch der allgemeine Ausdruck des Elementseiner krummen Fläche

d$ = dxdy . \/1 -j- p 2 -j- q 2 ,