§. 24 l. 428

5 - 24i. (Rectification der Ellipse.) Die Gleichungder Ellipse ist (§. 198,)

wo 2 a und 2 b ihre grofse und kleine Axe bezeichnen. Zerlegtman diese Gleichung (nach §. 232 , II.) mittelst einer Hülfsgröfse9 in zwey andere, so dafs man hat

x = a Sin 9 jj = b Cos 9 y

so ist auch

dx = a d 9 Cos 9 und dy = — bd 9 Sin 9 ,und daher geht die Gleichung (A) in folgende über:ds = ad f . y' 1 — er Sin 2 9 ,

wo der Kürze wegen ae — a 1 — b- gesetzt worden ist.

Allein dieser Ausdruck läfst sich, wie man ihn auch, etwadurch Einführung anderer Hülfsgröfsen, verändern mag, wederdurch unsere Tafel (§. 23 o.), noch auch sonst durch irgend einbekanntes Mittel integriren.

In solchen Fällen bleibt nichts übrig* als den gegebenenDifferentialausdruck in eine Reihe zu entwickeln, und die Glie-der derselben einzeln zu integriren. Diefs ist offenbar immerausführbar, aber das Totalintegral wird auf diese Weise durcheine endlose Reihe gegeben, aus welcher man den Werth desgesuchten Integrals nur dann annähernd linden kann, wenn dieseReihe convergent ist.

Ist e eine gegen die Einheit nur geringe Gröfse, oder istdie Excentricität der Ellipse nur klein, ist also diese Ellipseselbst nur wenig von einem Kreise verschieden, so hat man,wenn man die Wurzelgröfse Y 1 — e 1 Sin 2 9 nach dem Einomentwickelt:

ds = ad 9 J^i — c 1 Sin- 9--*—- e’ Sin 4 9

—.-—e <i Sin (5 9 — --—e 8 Sin 8 9 — , . ."1.

1 . 2.3 2 ä ~ 1 . 2 .Ö. 4-® 4 —1

Subslituirt man dann die Werthe der Integrale^9 Sin 3 9, J’d9Sin 4 9, pd9Sin ö 9