422

§. 240.

v = 2 izr ,

also auch

dv = 2 tz dr.

Substituirt man diesen Werth von dr in der Gleichung (A')des §. 232, oder in

ds =s Vdr*- -J- r s dv z ,

so erhält man

Um diesen Ausdruck zu integriren, sey i> = Tangy>, also

, d D , /-:-

ds = — y 1 “h ^

2 1t r 1

auch

so dafs man daher hat

d v =

d 9

ds —

Cos 2 9 *d 9

2 je * Cos 3 9 ’

und davon ist das Integral (nach 23o, IV.)

i p Sin 9 j 4 - Sin o~l

s = ^L^ + l 0 S ~c^rJ-

Um diefs wieder durch v auszudrücken, hat man

Tangj> = v oder = v. Y i v*,

und überdiefs

i + Sin 9 —j—;

—- 1 - = v -f- V/ l + v ,

Cos 9

so dafs man daher für den Bogen s dieser Spirale erhälts = [v . V i -j- v 2 + log ( v -l - V > + v 2 )].

Eben so hat man für die logarithmische Spiraler = a v ,

also auch

dr = a v . dv . log a .

Setzt man daher b =a loga, so findet man

ds = Vdr 2 r 2 dv z = <Ü > . dv V i -j- 6 %

woraus sofort (nach §. 227 , I.) folgt

s = a \y'l+± oder s = rY- +bZ

b 2