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§. 238 .

natürlichen Logarithmen bezeichnet. Setzt man daher

* = Tang?,

d 9__ _ d V

so hat man

d x =

Cos 2 9

wodurch die Gleichung (A) wirdds =2

und dy =

Sin 9 Cos 9’

Sin 9 Cos 2 9 '

und davon ist das Integral (nach 23o, XIV.)

S = C^ + lo S Tan ST? + Const.

Zählt man den Bogen DM von dem Puncte D an, wox = Tang9 = e ist, so hat man für die Constante der Integra-tion :

Const = log (1 -]- Y 1 + e 2 ) — y 1 -j- e 1 .

§. 238. (Rectificatiou der Cyclois.) Für diese Curve

hatten wir oben (§. 207.) die beyden Gleichungen

x = a (9 — Sin 9) und y z= a( 1 — Cos 9),

wo (Fig. 93) AP = x, PM =zy und der Winkel MO H = 9 ist.Davon sind die Differentialien

dx = ad 9(1 — C0S9) und dy = ad 9 Sin9,

also ist auch die Gleichung (A) oder das Element des Bogens derCyclois

ds = adf^z — 2C0S9 = üadf Sin^9,und davon ist das Integral

s = ■— 4 ß Cos 79 -J- Const.

Ist s = o für 9 = 0, so hat man

Const = 4 fl,

und daher ist der gesuchte Bogen AM =2 s der Cycloiss = 4fl(> — Cos ^9) = 8 a Sin 2 £9.

Nimmt man diesen Ausdruck von s für den Werth 9 = 180°,so hat man, da Sin 45° = ist, den halben Bogen der Cy-clois AMD = 4a, und daher den ganzen AMDB = 8a odergleich dem achtfachen Halbmesser des erzeugenden Kreises.