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§• 235.

dx = \dy.

wodurch die Gleichung (A) wird

ds = dyV x +g.

Ausdrücke dieser Art aber, in W’elchen der eine Factor dydas vollständige Differential der in dem anderen Factor enthal-tenen Gröfse ist, geben immer ein algebraisches Differential.

So ist z. B.

f (1 -J-a' 1 )" 1 . x n ~ 1 dxund eben so ist auch

(i +x n ) m +'n (m -j- i) ’

wie zuvor.

Const,

§. a35. (Rectification der Astrois.) Nimmt man in

der oben (§. 204 .) gegebenen Gleichung dieser Curve

* i £x* y 3 = a 3

die Coordinaten

x = a Cos 3 <f und y ■=. a Sin 3 f,so erhält man durch die Gleichung (A) für das Element des Bo-gens der Astrois

ds = — 3 a . d<p Sin f Cos f ,

wovon das Integral (nach §. z3o, V.) ist3 a

s =a —- (2 Cos 3 — 1) -j- Const.

Ist s = o für 9> = qo°, das heifst für .z = o, oder zählt manden Bogen E M (Fig. 90) von dem höchsten Puncte E der Curve,so ist

Const = — |a,

und daher

s

|a Cos 2 $

oder

Die Astrois läfst sich daher ebenfalls algebraisch rectificiren.Nimmt man in dem letzten Ausdrucke x = AC=za, so erhältman den Bogen EMC = \a , so dafs daher der ganze Umfangder Astrois gleich 6 a oder gleich der dreifachen geraden LinieBC oder VE ist.