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§. 232 .

gen Coordinaten x, y, sondern zwischen den Polarcoordinalen($j. 180, I.) r und v besteht, so werden wir zuerst den oben ge-gebenen allgemeinen Ausdruck von

ds = y'dx ' 1 -J- dy z

für diese neuen Coordinaten umgestalten. Man hat aber (a.a.O.)

x = r Cos v,

y == r Sinv,

also auch, wenn man diese beyden Gleichungen differentiirt:dx = dr Cosv — rdv Sinv,dy = dr Sinv -j~ rdv Cosv,

und wenn man diese Werthe von dx und dy in den vorherge-henden Ausdruck von ds substituirt:

ds = j/d?' 2 -)- rdv 1 . . • (A'),

welches demnach der allgemeine Ausdruck für das Element jederebenen Curve zwischen den Polarcoordinaten rund v ist, wie wirauch schon früher ($. 21 3 .) gefunden haben.

Substituirt man daher in diesem Ausdrucke von ds denWerth von

dr =s — 2 adv Sin v ,

der unmittelbar aus der obigen Gleichung des Kreises folgt, soerhält man

ds = dv. \^^a z Sin J v -(- 4 a 1 Cos^v oderds = 2 adv,

wovon das Integral ist

s — 2 av,

wenn nämlich s zugleich mit v verschwinden soll.

Für v = 5T, wo 5r= 3 .i 4 i 5 q..., erhält man die ganze Pe-ripherie des Kreises, dessen Halbmesser a ist, gleich

2 an,

übereinstimmend mit »24, V.

I. Dasselbe findet man auch aus der Gleichung des Kreises

( 5 * > 99 *)

zwischen rechtwinkligen Coordinaten. Diese Gleichung gibtnämlich

X

xdx ydy = o oder dy = — — dx ,