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§. 231 .

zu seinem Endpuncte gehörende Abscisse x, und zwar ganz all-gemein ausgedrückt, da man in der so erhaltenen Gleichungzwischen s und x für die Gröfse x jeden willkürlichen Werth an-nehmen kann, um daraus sofort auch den ihm entsprechendenWerth des Bogens s zu finden.

I. Um diefs zuerst auf ein sehr einfaches Beyspiel anzuwen-den, sey die Gleichung

x = ay — a

der geraden Linie C D M (Fig. 77) gegeben. Das Differentialdei’selben ist dx = ad/, also ist auch das Element MM' dergegebenen Geraden selbst

d s = d x z -j- d y 1 = d x .

Von diesem Ausdrucke hat aber die Integration keine wei-tere Schwierigkeit, so dafs man für das gesuchte Integral soforterhält

s

x

1 -f- a 2a-

+

C,

wo C die oben (<jj. 226, III.) erwähnte Constante der Integrationbezeichnet.

Ist h der Winkel, welchen die Gerade CM mit der Axe dery bildet, ist also ACD = () o— h, so hat man a = Tang h,und das vorhergehende Integral geht in den folgenden einfache-ren Ausdruck über:

s = ShTÄ+ C -

Um diese Constante C zu bestimmen, kann man z. B. die Längeunserer Geraden von demjenigen Puncte C an zählen, wo sie dieAxe der x schneidet. Da für diesen Punct y=zo, also aucha’= — a ist, so gibt die vorhergehende Gleichung

o — — —— —1— C oder C -—-

gm h *

Sin h ’

und daher unser vollständig bestimmtes Integral

x -|- OLSin h ’

oder auch, wenn man statt x seinen Werth ay — a=yTangh — asubstituirt:

y

S =5 —--,

Cos h