Neun und zwanzigstes Capitel.

Rectification der Curven.

§. aäi. (Element des Bogens einer Curve.) Wir

wollen nun zu der Anwendung der Ausdrücke der vorhergehen-den Tafel auf die oben (§. 326, I.) erwähnten interessanten Pro-bleme übergehen, und unter diesen zuerst diejenigen betrach-ten , welche sich auf die Bestimmung der Länge des Bogens einerCurve zwischen zwey gegebenen Puncten derselben , oder aufdie sogenannte Rectification der Curven beziehen.

Wir haben bereits oben (§. 2 jo, IV) den allgemeinen Aus-druck für das Element des Bogens einer Curve kennen gelernt.Sind nämlich M und M' (Fig. 97) zwey nächste Puncte einerCurve N Q , und betrachtet man diese Curve als ein Polygon vonunendlich kleinen geradlinien Seiten, so hat man in dem recht-winkligen Dreyecke MaM', in welchem Ma~dx und M'a = dydie Differentialien der beyden Coordinaten AP = x und PM=ybezeichnen, wenn man den Bogen N Q der Curve überhauptdurch s bezeichnet, für das Element MM'= ds dieses Bogens-den Ausdruck

ds — ^dx 2 -j- dy 2 . . . (A).

Substituirt man dann in diesen allgemeinen Ausdruck fürds den Werth von dy durch x und dx so ausgedrückt, wie eraus der Gleichung irgend einer gegebenen Curve folgt, so er-hält man den particulären Werth des Elements ds, wie er fürdiese gegebene Curve gehört, in einer Gleichung der Form aus-gedrückt :

ds = f(x) . dx ;

und wenn man dann von diesem Differentialausdrucke f(x) . d x,aus den Vorschriften der letzten Tafel, den endlichen Ausdruckin x , das heilst, wenn man das Integral dieser Gröfse f{x) . dxangeben kann, so hat man dadurch auch s durch x bestimmt, oderman hat dadurch die Länge des Bogens dieser Curve durch die