Acht und zwanzigstes Capitol.

Principien der Integralrechnung.

§,226. (Erklärung-) Wir haben in dem Vorhergehendendie Gleichungen mehrerer krummen Linien und Flächen kennengelernt, und da diese Gleichungen als der vollständige Ausdruckderjenigen Gegenstände im Raume, die sie repräsentiren, zu be-trachten sind, so werden wir auch durch diese Gleichungen selbstin den Stand gesetzt, alle Eigenschaften , durch welche sich jenekrummen Linien und Flächen unter einander unterscheiden undauszeichnen, aufzulinden, wie diefs z. B. bey der krummen Liniedes zweyten Grades geschehen ist, die wir oben (§. ig 5 . u. f.und §. 210.) umständlicher betrachtet haben.

Allein es gibt noch Fragen anderer Art, welche dieselbenGegenstände betreffen — Fragen, die wir bisher noch kaum be-rührt haben, und die sich aus jenen Gleichungen nicht, wenig-stens nicht so unmittelbar, ableiten lassen, wie diefs allerdingsmit den übrigen ^Eigenschaften dieser Curven und Flächen derFall ist.

I. Wenn man z. B. die Länge einer krummen Linie, etwader Ellipse, oder wenn man die Fläche sucht, welche sie ein-schliefst, oder wenn man um die Oberfläche und um das Volumdesjenigen Körpers fragt, der durch die Rotation dieser Ellipseum irgend eine Axe entstanden ist, so sieht man nicht sogleich,wie man, blofs mit Hülfe jener gegebenen Gleichung dieser Curve,zu Kenntnissen solcher Art gelangen kann.

Wir haben in dem Vorhergehenden, bey Gelegenheit derTangenten und Krümmungshalbmesser, das Verhalten der klein-sten Theile oder der Elemente der Curven und Flächen gegeneinander untersucht, und dasselbe, wie es die Natur der Sachefordert, aus den Differentialgleichungen dieser Curven abgeleitet.Auch haben wir bereits früher noch (Cap.X.) gesehen, dafs manvon jedem gegebenen Ausdruck zwischen endlichen Greffen,