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§. 216.

Ist z. B. die Gleichung einer Fläche

+ = 1

i .r

d- b"

gegeben , so ist ihre partielle Differentialgleichung in Beziehungauf a und x:

und in Beziehung auf z und^:

II. Sey nun

z — Ax -f- By -}- C

die Gleichung einer Ebene, welche eine Fläche, deren Gleichungzwischen x , y und z gegeben ist, in einem Puncte derselben be-rühren soll.

Da diese Ebene durch den bestimmten Punct M der Fläche,dessen Coordinaten xyz sind, gehen soll, so wird ihre Gleichungdie Form haben:

z — s = A(x — x) + £(/— f) • . . (a),

und in ihr sind demnach die beyden Gröfsen A und B, der Bedin-gung unserer Aufgabe gemäfs, noch zu bestimmen. Die letzte Ebenesoll nämlich auch noch durch alle anderenPuncte N , M', IV', . . .der Fläche gehen, die dem ersten Puncte IW zunächst liegen,also mufs auch die letzte Gleichung noch bestehen, wenn manin ihr statt xyz die Gröfsen x -|- dx, y -J- dy, s -|-dz setzt,wodurch man, wie oben (§. 210, I. und §. 211.), die Gleichungerhält

dz = Ad x -{- B dy.

Die allgemeine Gleichung jeder Oberfläche ist aberdz — p dx q dy ,

wo p — Un< ^ ^ = ^ aUS ^ Gr S e » e k enen Gleichung

der Fläche bekannten Functionen von x, y und a sind.

Setzt man die beyden letzten Ausdrücke von dz einandergleich, so erhält man

{A — p)dx -[- (B — q)dy — 0,und da dieser letzte Ausdruck für alle Richtungen, die man vondem Puncte, M zu irgend einem ihm nächsten Puncte nehmenkann, oder da er für alle Verhältnisse gelten soll, die man zwi-