356 §. 214 -

und wenn man auch von diesen Ausdrücken wieder das Differen-tial in Beziehung auf clv — Const oder d 2 v — o nimmt:d 2 x = 'd 2 r Cosj> — zdrdv Sinv — rdv 2 Cosv,

d 2 y = d 2 r Sin v -J- 2 d rdv Cos v — rdv 2 Sinv.

Substituirt man aber diese Werthe in dem vorhergehenden(§. an , Gleichung C) Ausdrucke von

_ (d x- -f- d y 2 ) 3

^ dxd 2 y — dyd-x ’so erhält man sofort

_ (d r 2 + r- d v 2 ) 3

^ r 2 du 3 -j- 2 dr 2 dv — r d» d 2 r

§. 214. (Curven von doppelter Krümmung.) Bis-her haben wir nur solche krumme Linien betrachtet, die durch-aus in einer und derselben Ebene liegen, und die man daherauch ebene Curven zu nennen pllegt. Es kann aber auch solchekrumme Linien geben, deren je zwey nächste Elemente immerin verschiedenen Ebenen liegen. Wenn z. B. auf einem Cylin-der von kreisförmiger Basis ein vollkommen biegsamer Fadon inder Richtung der gewöhnlichen Schraubengänge aufgewundenwird, so wird sich dieser Faden nicht blofs in einer auf die Axedes Cylinders senkrechten Ebene um denselben winden, sondernauch zugleich immer mehr von der Basis' dieses Cylinders sichentfernen, und demnach in jedem seiner Puncte eine doppelteBewegung in einer horizontalen und zugleich in einer vertikalenDichtung annehmen.

Sey ANM' (Fig. 100) ein solcher Cylinder, dessen Seiten-linien auf der Ebene der xy senkrecht stehen. Die Basis dessel-ben sey ein Kreis NAN' in derselben Ebene, dessen MittelpunctC, und dessen Halbmesser CA = a auf dem Durchmesser NN'■senkrecht steht. Wird auf der Oberlläche dieses Cylinders einFaden AMM' . . . so aufgewunden, dafs di,e senkrechte Ent-fernung MQ jedes Punctes M des Fadens von der Basis demKreisbogen AQ proportional ist, so fälle man von dem PuncteQ das Loth Q P auf den Durchmesser NN', und man- hat, wennder Winkel ACQ — v ist:

CP — x = a Siny und PQ = y — aCosv,