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§• 212 .

wieder eine andere Curve bilden, die man die Evolute (oder dieAbgewickelte) der gegebenen Curve nennt, während umgekehrtdie gegebene Curve selbst die Evolvente der anderen genanntwird.

Sind MN, mn, rrin, . . . (Fig. 98) die Krümmungshalb-messer der gegebenen Curve Mm tri . . ., so ist der Ort allerMittelpuncte ihrer Krümmungskreise, oder so ist die CurveNfnn . . . die Evolute der gegebenen Curve, wo AP = x, PM=ydie Coordinaten der Evolvente Mmm, und AQ = a, Q N = ßdie analogen Coordinaten der Evolute Nnn sind.

Zwischen diesen vier Gröfsen x, y, a und ß haben aber diedrey vorhergehenden Gleichungen (I) des §.211. Statt, von wel-chen die zwey letzten, für dx = Const, sind:

(x — a)dx -f- (y — ß)dy — o,

(y — ß)d, z y -f- dx z -f- dy z = o.

Verbindet man damit die ebenfalls in x und y ausgedrückteGleichung der gegebenen Curve oder der Evolvente, so wirdman, wenn man aus diesen drey Gleichungen die zwey Gröfsenx undjy eliminirt, eine Gleichung zwischen den hier als verän-derlich angenommenen Gröfsen a und ß erhalten, welche Glei-chung daher für die gesuchte Evolute gehören wird.

Ex. I. Für die Parabel haben wir in §. 211, Ex. I. erhalten

a ~ x = i (a z + J ')»

ß — y = — -JO 1 * +.r)j

und aus ihnen folgt sofort

a — x ss a 2 x,

Eliminirt man aber aus diesen zwey Gleichungen die Gröfsex , so erhält man

ß 2 = (a — a) 3 ,

27 a '

oder wenn man der Kürze wegen setzt

tO — a) — v und ß = §?für die gesuchte Gleichung der Evolute