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§. 211 .

cliungen

O — a) 3 -f- (y—ß) z —- p z = o |

— a)dx + (y — ß)dy = o > . . . (I)

(:r— a)d z x 4“ (,/ — ß)d z y 4~ dx z 4“ dy- s= o )gleichgeltend sind. Denn bezeichnet man die erwähnten dreyBedingungsgleichungen der Kürze wegen durch A, B und C , soist B—-A die zweyte, und A — aß-\-C die dritte der Gleichun-gen ( 1 ), wenn man, nach dem oben (§. 47.) aufgestellten Prin-cip dieser Rechnungsart, die höheren Differentialien gegen dieniederen wegläfst.

Sucht man nun aus diesen drey Gleichungen (I) dieWerthevon a, ß und p auf dem gewöhnlichen Wege der Elimination(§. 67, I.), so erhält man, wenn man wieder der Kürze wegends z — dx z 4~ dy z setzt:

d s-. dy \

d x d' l y — dy d z x J_ . ds z . dx I

^ ^ d x d- y“ - dydTx ( ' ' ^ ‘

_ ds^ ,1

dxd z y — dyd-x I

Durch diese drey Gröfsen a, ß und p ist daher derjenigeKreis vollkommen bestimmt, der mit der gegebenen Curve zweynächste Elemente gemeinschaftlich, oder der, wie man sich auchauszudrücken pllegt, mit dieser Curve eine Berührung der zwey-ien Ordnung hat, während die in $.210. betrachtete Tangentemit dieser Curve nur eine Berührung der ersten Ordnung ein-geht. Aus dieser Ursache schliefst sich auch dieser Kreis viel in-niger an die Curve an, als die Tangente, und sein Halbmesser gibtgleichsam das Mafs der Krümmung der Curve in jedem ihrerPuncte an, während die Tangente nur die Richtung ihrer Krüm-mung anzeigt, daher auch dieser Kreis der Kriimmujigskrcis derCurve genannt wird.

Man sieht, wie sich dasselbe Verfahren auch auf Berührun-gen der dritten und höheren Ordnungen fortsetzen läfst.

I. In dem Vorhergehenden ist, der gröfsern Allgemeinheitwegen, kein erstes Differential als constant vorausgesetzt wor-den. Da aber, nach JJ. 55 , I. eines derselben constant angenoin-