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§. 208 .

wo n = 3 .i 4 i 5 <) .. • und an = AC die halbe Peripherie des er-zeugenden Kreises bezeichnet. Dadurch gehen die vorigen Glei-chungen in folgende über :

und wenn man endlich auch aus diesen zwey Gleichungen dieGrüfse co eliminirt:

eine zweyte Gleichung der Cyclois.

§. 208. (Die Spiralen.) Wenn man eine Curve, derenGleichung zwischen den rechtwinkligen Coordinaten x undjy ge-geben ist, in eine Spirale verwandeln will, so kann man sichdie Abscissenaxe derselben nach der Peripherie eines Kreises ge-krümmt und auf demselben gleichsam aufgewunden vorstellen,wobey die Ordinaten y ihre frühere senkrechte Stellung gegendie neue Abscissenaxe, d h. gegen die Peripherie des Kreisesbeybehalten. Ist der Halbmesser dieses Kreises die Einheit, sowird man nur, in der gegebenen Gleichung der Curve zwischenx undjy, die Abscisse x in den Winkel v, und alle um diese Ein-heit verminderten Ordinaten y in den Radius r verwandeln, umsofort die Polargleichung der entsprechenden Spirale zu erhalten.

I. So hat man für eine gerade Linie, die durch den Anfangder Coordinaten geht, und die mit der Axe der x einen Winkel

bildet, dessen Tangente - 1 - ist, die Gleichung zwischen denrechtwinkligen Coordinaten

x = 2 n . y.

Nimmt man damit die angezeigte Verwandlung vor, so er-halt man sofort

v == 2 n . r

für die Polargleiclumg der Archimedischen Spirale, die Fig, 94nbgebildct ist.

( i + c ° s 0’

y = an — t - 4 - a Sin -J 1 a

oder wenn man n — v = co setzt:

x' = (i (t — Cos co)y = a (co -J- Sin co)

l

y =2 a Are Cos f 1 — J -j- 2 ax — x' 2 ,