§. 1Q0. 815

§. u)o. (Anderer Ansdruck der Gleichung einer

Ebene.) Da die Ebene, deren Gleichung

ax -f- ßy + y z — h ( ai -J- + y 2 ) oder

Lx My -{- Nz = 1

ist, nach dem Vorhergehenden, auf der Mitte O derjenigen Ge-raden A 0 U(Fig. 8o) senkrecht steht, die den Anfangspunct A derCoordinaten mit dem Puncte .Z> verbindet, dessen Coordinaten a, ß, ysind, so hat man, wenn R die halbe Distanz OA=OB dieserbeyden Puncte A und D genannt wird (nach §. 184, I.)

(2K) 2 = a 2 + ß* -j- y\

Nennt man aber A, B, C die Winkel, welche diese DistanzAB==zR in derselben Ordnung mit den Axen der x , y , z bildet,so hat man in dem bey C rechtwinkligen Dreyecke ACBa = 2 R . Cos A,

und eben so

ß = 2 R . Cos B,y = zR . Cos C.

Substituirt man diese Werthe von a, ß, y in der ersten dervorhergehenden Gleichungen, und bemerkt, dafs nach §, 186, III.

Cos" A -J- Cos 2 B -(- Cos 2 C = 1ist, so erhält man

a-.Cos^f y. Cos B -J- s . Cos C = Reine andere allgemeine Form der Gleichung einer Ebene, in wel-cher also R=zAO die senkrechte Distanz der Ebene von demAnfangspuncte A der Coordinaten bezeichnet.

I. Nennt man überdiefs p, q , r die Entfernungen derjenigendrey Puncte von dem Anfangspuncte A, in welcher die Ebenovon den Axen der x, y, z geschnitten wird, so hat man

_ R _ R _ R

P Cos A' ^ CosB ’ ? CosC 5

also auch, wenn man diese Werthe in der letzten Gleichung derEbene substituirt:

oder auch

qr.x + pv.y + pq.z = pqreine dritte merkwürdige Form der Gleichung einer Ebene.

- + ^ + 1 =pqr