§. 185.

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den Geraden (1) und (2) unter sich bilden, durch («.2) be-zeichnet:

A* = r' z -f- r'- — 2 rr Cos (1.2).

Setzt man diese beyden Ausdrücke von A’- einander gleich,und bemerkt man, dafs (nach §. 184, I.)

r' z == x' z -j- y' z -|- s' z und a Jr" z — x' z -}- y' z -f-

ist, so erhält man:

rr". Cos(i .2) = x x" -J- jr'y' z'z" . . . (a).

Da man aber aus dem Yorhergehenden hat:

und daher auch

x = a z und x" = a'z",y=ös' » jr"=zb'z",

r' z = ( 1 -(- a z -{- b z ) . z' 2 ,r' z = (i+ a '*+6'*).a"S

so erhält man, wenn man diese Werthe in der vorhergehendenGleichung (0) substiluirt, für den gesuchten Winkel (1.2) derLinien (1) und (2) den folgenden Ausdruck:

Cos (1.2) =

i -f- n a -f- bb’

V1 4. a z + b z . \/i + a z + b' zI. Sind daher die beyden Linien (1) und (2) unter sich pa-rallel , so ist Cos (i . 2) = 1, und dann geht die letzte Gleichungin folgende über:

(1 a z “|— (1 —|— ei z —|— b Q := (1 —j- dCL 5 5

die man auch so schreiben kann:

(o — a') z (b — b') z -]- (ab '— ab) z — o.

Da aber die Summe von Quadraten, als immer positiveGröfsen, nur dann verschwinden kann, wenn jedes dieser Qua-drate für sich gleich Null ist, so hat man

u = a.' und b = b',

übereinstimmend mit §. i83.

II. Sind endlich die beyden Geraden (i)und(2) auf einandersenkrecht, so hat man Cos (1.2) = o , also ist auch1 ou'-j- bb' — o

die Bedingung des gegenseitigen senkrechten Standes der beyden

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