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§. 185.

jenigen Stücke dieser Axen, welche zwischen den Fufspunctenjener Lothe enthalten sind, oder so sind die Projeclionen (§. 181, 1 .)der Distanz A auf diese Axen

der x . . . PP' = x — x ,

» y ... Q'p = y — y ,

» z . , . M'm= z' — z.

Demnach ist das Quadrat einer jeden geraden Linie gleichder Summe der Quadrate ihrer Projectionen auf drey willkürlichen,aber unter sich senkrechten Linien : eine wesentliche Erweiterungdes oben (§. 92.) angeführten Pythagoräischen Theorems.

I. Eben so erhält man auch für die Distanz AM — R des er-sten Punctes M von dem Anfangspuncte A der Coordinaten, dafür den letzten Punct die Gröfsen xy'z' verschwinden:

E 2 = x* -|- y % -J- z

und eben so für dio Distanz AM'=zR' des zweyten Punctes:E' 2 = x' z -\- y z -{- z"-.

5 . i85. (Winkel zweyer gegebenen Geraden.)

Um den Winkel, welchen die zwey Geraden (1) und (2) untersich bilden, zu finden, kann man dieselben zuerst unter sich pa-rallel fortrücken, bis sie beyde durch den Anfangspunct der Co-ordinaten gehen, ln diesem Zustande verschwinden in den Glei-chungen derselben die Constanten a , a'und ß, ß', ohne dafs da-durch die Neigung der Linien gegen einander geändert wird, sodafs daher die Gleichungen dieser zwey Geraden die Form haben:

x = az

y — bz

. . (1) und

az

y = b'z

. (2).

Nimmt man dann auf jeder der beyden letzten Geraden einenPunct, dessen Entfernung von dem Anfänge der Coordinaten fürdie erste Gerade gleich r und für die zweyte gleich r" ist, undnennt man xy'z die Coordinaten des ersten, und x"y"z die deszweyten Punctes , so wird man für die Distanz A dieser zweyPuncte (nach §. 184.) den Ausdruck haben:

a 2 = (x—x'y- -f (y—j'y -g (3"— z'y.

Allein für dieselbe Distanz hat man auch (nach §. 91 , Glei-chung (A)), wenn man den gesuchten Winkel, welchen die bey-