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§• 1Ö7

Cos a = Cos ß Cos y -J- Sin ß Sin y Cos A,und diese Gleichung gibt den Winkel A des sphärischen Drey-ecks, wenn die drey.Seiten a, ß, y desselben bekannt sind.

Durch dasselbe Verfahren, auf die beyden andern Puncte Aund B angewendet, oder auch, durch die blofse bereits oben(§. 91 , II.) erwähnte Verwechslung der Zeichen, wird man auchdie beyden analogen Ausdrücke für Cosß und CosC erhalten,so dafs man demnach die drey Gleichungen hat:

Cosa = Cosß Cosy -)- Sin/3 Siny Cos A 1Cos ß = Cos a Cos y -J- Sin a Sin y Cos BJ... (A) ,Cosy = Cosa Cosß -J- Sina Sinß Cos C )und diefs ist die gesuchte Fundamentalgleichung des sphärischenDreyecks, aus welcher sich alle übrigen ableiten lassen, wie wirsogleich näher sehen werden.

§. 167. (Weitere Gleichungen des sphärischenDreyecks.) Da man für jeden Winkel A die Gleichung hat:Sin 2 J = i — Cos 2 A,so gibt die erste der Gleichungen (A)

'Cosa — Cosß Cosy \ 2

Sin 2 A so 1

0

Sin ß Sin y

Entwickelt man diesen Ausdruck, und setzt der Kürzewegen

j -[- 2 Cos a Cosß Cos y — Cos 2 a — Cos 2 ß —■ Cos 2 ß

M 2

so findet man sofort

Sin 2 a Sin 2 ß Sin 2 y

Sin A

M . Sin a:

und eben so, durch die blofse Verwechslung der Zeichen, wo-durch der für aßy symmetrische Ausdruck von M offenbar nichtgeändert wird:

Sin B — M. Sin ß undSin C = M . Sin y.

Eliminirt man aus den drey letzten Gleichungen die GröfseM, so erhält man

Sin A Sinß = Sinß Sina jSin^Siny = Sin C Sin a ! • • • (D)>Sinß Siny = Sin C Sinß J