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§. 137 .

über der Summe A B der zwey gegebenen Geraden als Durch-messer, einen Halbkreis AMD, und errichte in ihm auf BAdurch den Punct P das Loth PM, so ist PM die gesuchte mitt-lere Proportionale zwischen AP und PB, oder es ist ($. 92, II.und §, 112, I.)

AP : PM =a PM : PB.

§. 137. (Ein Quadrat verzeichnen, das der Summevon zwey gegebenen Quadraten gleich ist.) Sind a

und b (Fig. 4h) die Seiten der zwey gegebenen Quadrate, sostelle man sie in einem ihrer Endpuncte rechtwinklig zusammen,und verbinde dann ihre anderen Endpuncte durch eine Gerade x,so ist

x 2 = a 2 -J- b 2 ,

also auch x die Seite des gesuchten Quadrats.

Setzt man an den Endpunct der Linie x eine dritte Gerade crechtwinklig an, so ist die Linie y, welche die Endpuncte derGeraden x und c verbindet, oder so ist

y 2 = x 2 -j- c 2 , also auchy 2 — a 2 -f- b 2 -f- c 2 ,

oderj- ist die Seite eines Quadrats, das der Summe von drey«nderen Quadraten gleich ist.

Zieht man eben so d senkrecht auf^', so ist

z 2 == y 2 -f- d 2 , also auchz 2 = a 2 -j- b 2 -J- c 2 -j- d 2 ,

oder z ist die Seite eines Quadrats, das vier anderen Quadratengleich ist u. f. Für a— b = c — d= 1 '-hat man

® = V3 , y = 3 , s = ■ — 2 «. s. w.

Da die Flächen aller ähnlichen Figuren sich wie die Qua-drate ihrer homologen Seiten verhalten (§. 124, III. V.), so wirdman in dem Vorhergehenden statt den Linien a, b, c, ... auchdie homologen Seiten von ähnlichen Figuren, z. B. die Seitenoder die Halbmesser von regelmäfsigen Polygonen oder auch dieHalbmesser verschiedener Kreise substituiren können , und da-durch Polygone oder Kreise erhalten, deren Fläche gleich istder Summe der Flächen von 2, 3 , 4 > • • • anderen ähnlichenPolygone oder der Summe der Flächen von eben so viel Kreisen.