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§. 105.

• (V).

e x ^ 1 = Cosx -j- y —l.Sinx

e x ^ 1 = Cosa: — y' —l.SinxII. Nimmt man überdiefs von den beyden letzten Ausdrückendie natürlichen Logarithmen, so hat man

x = ——- . log (Cosa: -{- —i * Sinx)

V—i

• log

(VI),

Cos x

V—i . Sina:

und statt der letzten dieser Gleichungen kann man auch, dalog i = o ist, die folgende setzen:

a, = — ——- . log (Cosa: — y —i . Sina:), oder auch

x = V—' -log(C OS# — y —l . Sin x).

III. Setzt man endlich in der ersten der Gleichungen (V)statt x die Gröfse nx, wo n irgend eine willkürliche Zahl be-zeichnet, so hat man

e nxy/ i £_ Cos nx y —l . Sin na:.

Es ist aber

e nxV-i = i)« — (Cos x + y~i . Sin*)»,

also ist auch

(Cosx -j- y —l.Sinx)* = Cosnx + /-i . Sin n x )und eben so > • • • (VII),

(Cos x — y — i . Sin x) n = Cosnx ■—- y — i. Sin ra x )Gleichungen, die sämmtlich für die Theorie der trigonometri-schen Functionen von grofser Wichtigkeit sind.

IV. Beschliefsen wir diesen Gegenstand mit einer die Loga-rithmen betreffenden Bemerkung. — Wenn man in der ersten derGleichungen (V) statt x die Gröfse (2mjir-]-x) setzt, wo m ir-gend eine ganze positive Zahl o, i, 2 , 3, . . . bezeichnet, sohat man

e ( 2 m7r + x)V-i _ Cosx + l.Sinx,also auch, wenn man davon die natürlichen Logarithmen nimmt:( 2 mi'-)-i). y —i = log (Cosx -)- y —i . Sinx).

Der letzte Ausdruck gibt

für x — o . . . log (-j- i) = 2 mx . y —i,

und für x = x . . . log(— i) = ( 2 /n-J- i)x,'. y —i.

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