§. 105 .

193

aus der ersten Reihe: und aus der zwcylen:

0.157071)60 1

— 0.00064596 —• 0.012337

+ 0.00000080 -j- 0.000025

Sin 9 0 = 0.156434 Cos 9 0 = 0.987688.

io5. (Ausdruck des Sinus und Cosinus durchimaginäre Gröfsen.) Wenn man in der oben (§. 63.) füre x erhaltenen Reihe

so

e x =

\ X

+ —1.2

+ •

X 5

1 . 2.3

4 - • •

statt x

zuerst die 1

Gröfse

X ^ - 1

und

dann

— x y ' ■

erhält

man

e x V—i

= * +

x \/~ —

X 2

1.2

—

a: 3 V —

1 . 2.3

1 +7

und

e - xV -

_i = i —

x \ f —

X 2

1.2

+

.r 3 V—

1 . 2.3

: + r

a:*»

Die Summe und die Differenz dieser beyden Reihen gibt

sofort

**1-' + e-^-' = 2 r._Ai + ^__i

L 1-2 1.2.S.4 J

unde

_ e -^-i = + 1

L 1.2.3 1 1.2. 3 . 4*5 J

Allein die in den Klammern eingeschlossenen Glieder derzwey letzten Ausdrücke sind, nach §. 104 ,

die erste gleich Cosa:,und die andere gleich Sina:,

so dafs man daher die zwey merkwürdigen Gleichungen erhält:

Sin x

Cosa: =

e**-' - e x ^ 1

2 /—1

e X}/ - 1 + e~ x ' / ~ l

. (W),

in welchen e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet.

I. Addirt und subtrahirt man die Gleichungen (IV), so er-hält man

Littrow’a Anfangsgr. (1. gosammt. Mathcm. 1 3