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§. 105.

II. Nach dieser schönen Reihe konnte man den gesuchtenWerth x der halben, also auch den der ganzen Peripherie desKreises berechnen. Da aber die Reihe nur langsam convergirt,so wird man besser auf folgende Art verfahren.

Man zerlege den Octanten des Kreises oder die Gröfse \xin zwey Theile a und 6, so dafs

\x = a -|- b, also auch Tang(a-f-6) = iist. Da man, nach §. ioi, die Gleichung hat

Tang(a-f-fc) =

so ist auch

Tang b

Setzt man daher Tanga

Tang « + Tang b _

i — Tang a Tang b

i ■— Tang «i -f- Tanga

t, so mufs Tang b = -j seyn,

also wird man auch, selbst ohne die Werthe dieser Rogen a undb zu kennen, wenn man in der obigen Reihe für u statt Tang«zuerst -j- und dann j substituirt, die folgende Doppelreihe er-halten :

i

V

+

1

3T23

1

+ -J_

~ 5 . 2 5

1

+

3.35 ~ 5.3s

1 ._ \ _

7.2 7 ' 9.2 9

+ “~

7.3 7 1 9.3»

und da beyde Reihen schnell genug convergiren, so wird manaus ihnen den Werth von x auf eine bequeme Weise ableitenkönnen.

Noch vortheilhafter wird man die Gröfse ^x in drey Theiletheilen, von denen man, um nicht drey verschiedene Reihen zuerhalten, zwey unter sich gleich nehmen kann, so dafs z. R.

~x = 2 a -f- b

ist, wo man dann, für Tanga=J-j, erhält Tang6=i, also auch

5.35

Auf diese Weise hat man für die halbe Peripherie x desKreises, dessen Halbmesser die Einheit ist, den folgenden Werthgefunden:

x = 3.141592 653589 793238 462643 383279 . . .