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§. 103.

und eben so erhält man auch

~ = ~ a(.+**)- + iUHi+O- 3 ,

~£~ = 24^(1 -|-a ,2 ) —3 — 48 a: 3 (i -|-a; 2 )“4 u , f.

Setzt man, um darauf Maclaurin s Theorem (§. 5j.) anzu-wenden, in diesen Ausdrücken die Gröfse a: = o, so erhält manU es U"= l/ IT . . . gleich Null, undU'=i, V"'— — 2 , £U*= 2 .3.4, 17™= — 2 .3.4.5 .6 u. f.,so dafs man daher, nach dem erwähnten Theorem, den Ausdruckerhält:

u ss Tang u — |Tang 3 n 4 - 4 Tang 3 u — yTang’u . (I),

eine sehr einfache Reihe, von welcher-das Gesetz des Fortgangsfür sich deutlich ist.

Durch diese Reihe erhält man demnach den Werth jedesBogens eines Kreises, dessen Halbmesser die Einheit ist, wenndie Tangente dieses Bogens, in Theilen desselben Halbmessers,bekannt ist.

I. Um einen solchen Bogen zu finden, dessen Tangente be-kannt ist, sey FB (Fig. 22 ) die Hälfte des Quadranten, also einBogen von 45 Graden. Die Tangente Ff dieses Bogens, die(nach §. 90 , I.) auf dem Halbmesser CF des Kreises senkrechtsteht, bildet mit diesem Halbmesser und mit der Secante Cf einin F rechtwinkliges Dreyeck, in welchem die beyden schiefenWinkel bey C und / unter sich gleich sind, da nach §. 85, II.die Summe dieser zwey Winkel immer gleich einem rechten Win-kel ist, und der eine C derselben, unserer Voraussetzung ge-mäfs, gleich der Hälfte eines rechten Winkels oder gleich 45Graden ist. In einem solchen Dreyecke sind aber (nach $. 87 , VII.)die beyden Katheten von gleicher Gröfse, also ist auchFf = FC = i.

Nennt man daher x die Hälfte der Peripherie eines Krei-ses, dessen Halbmesser die Einheit ist, und ist u ein Bogen von45 Graden oder ist u — ■\x, so hat man Tangit = 1 , und wennman diese Werthe von u und Tangu in der vorhergehenden Glei-chung substituirt, so erhält man