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§. 102 .

Diefs sind die vorzüglichsten Relationen , die man zwischenden trigonometrischen Functionen aufgestellt hat. Wir werdenbald sehen, wie man dieselben zur näheren Bestimmung der Drey-ecke anwenden kann.

§. 102. (Differentialien der trigonometrischenFunctionen.) Durch das Vorhergehende haben wir demnacheine neue Gattung von Functionen kennen gelernt, die sehrmerkwürdige Eigenschaften haben. Indem wir sie den bereitsoben erhaltenen Functionen der Potenzen, der Logarithmen undder Exponentialgröfsen, von welchen sie sich wesentlich unter-scheiden, hinzufügen, wirdes, zum Schlüsse dieses Gegenstan-des, angemessen seyn, auch die Differentialien dieser neuenFunctionen zu bestimmen.

Um zuerst das Differential des Sinus eines gegebenen Bo-gens, oder um den Ausdruck von

d . Sin x

zu finden, so wird man nach dem, was oben (§. 46. u. f.) gesagtworden ist, die Gleichung haben:

d . Sin x = Sin (# d x) — Sin x.

Allein nach den Gleichungen (C) des §. 94. i stSin {x -j- d x) = Sin x Cos d x -j- Cos x Sin d x ,also ist auch

d . Sin x = Sin x (Cos dx — 1) -{- Cos x . Sin da:.

Wenn nun der Bogen dx eines Kreises immer abnimmt,oder wenn er sich der Grenze Null immer mehr nähert, so ent-steht die Frage, ob auch die beyden GröfsenCosd# — 1 und Sind#

sich dabey einer bestimmten Grenze immer mehr nähern , ohnesie eher, als bis d#=so ist, zu erreichen.

Für die erste Gröfse (Cos dx — t) hat man, nach §. 97.,für jeden Werth von dx

dx

Cos dx =1 — 2 Sin 1 -,

a

woraus folgt* dafs, für ein unendlich kleines dx, die GröfseCosd# gleich der Einheit wird, wie wir auch schon oben 5.89, II.