169

5. 9i-

das heilst: »ln jedem Breyecke ist das Quadrat einer Seile gleichy der Summe der Quadrate der beiden anderen, weniger dem dop-»pellen Producle dieser zwey anderen Seiten in den Cosinus des.»von ihneneingeschlossenen Winkels,«, und diefs ist die gesuchteGrundgleichung des Dreyeckes, aus welcher sich alle anderenleicht ableiten lassen.

I . Es wird nicht nothwendig seyn, zii erinnern, dafs dieseGleichungen (A) für alle Dreyecke gehören, selbst wenn z. B.das Loth von einem Puncte C nicht auf die gegenüberstehendeSeite j Bl, sondern, w’ie in Fig. 26 , wegen dem stumpfen Win-kel ABC, nur auf die Verlängerung BD dieser Seite fällt, da fürdiesen Fall der Cosinus des erwähnten Winkels (nach §. 89, II.)negativ ist, und daher der obige Ausdruck

y — a Cos.fi -p- ß Cos A

durch die blofse Berücksichtigung des Zeichens von Cos B in

Y = ß Cos A — a Cos B,also auch die zweyte der Gleichungen (A) in, ß 2 = a 2 -]- y z “f- 2ay Cos B

übergeht. — Fällt aber, wie bey einem in A rechtwinkligenDreyecke ABC (Fig. 6) das Loth von B auf den Endpunct dergegenüberstehenden Seite CA, so geht für diesen Fall, da wie-der nach 5.89, I. der Cosinus eines rechten Winkels Null ist,die Gleichung

ß — y C° s A -J- a Cos Cin die folgende über:

ß = a Cos C,

welche mit der oben (§. 87, IV.) gegebenen Gleichung iden-tisch ist.

II. Bemerken wir noch, dafs von den drey Gleichungen (A)je zwey nur eine Folge oder vielmehr ein anderer Ausdruck derdritten sind. In der That findet man z. B. aus der zweylen jenerGleichungen

ß 2 = a 2 -j- y 2 '— üayCosB,

die für das Dreyeck (I) (Fig. 24) gehören mag, wo AC die unterstoSeite oder die Basis desDreyeclis ist, sofort die beyden anderenGleichungen, wenn man dasselbe Dreycck zweymal so dreht,