Fünfzehntes Capitel.

Eigenschaften der Dreyeoke und weitereEntwicklung der trigonometrischenFunctionen.

5- q>. (Fundamentalgleichung des Dreyeckes.)

Sey ABC (Fig. 23 ) ein Dreyeck, dessen Winkel, nach der oben(§• 87, II.) eingeführten Bezeichnung A, B, C, und die ihnenin derselben Ordnung entgegenstehenden Seiten BC = a, AC-=zßund AB = y sind. Wenn man von dem Scheitel eines Winkels Ades Dreyeckes auf die gegenüberstehende Seite BC = a ein Loth.AD fällt, so wird dadurch diese Seite in zwey Theile BD undDC getheilt, die, nach der oben (§. 87, IV.) gegebenen Erklä-rung des Cosinus, so ausgedrückt werden können:

B D e= y Cos B und DC = ß Cos C;so dafs man daher, da BC= B D -{- D C ist, den Ausdruck hat:a = y Cos B -[- ß Cos C,

Ganz eben so wird auch das Loth aus dem Puncto B und Cauf die ihnen gegenüberstehenden Seiten geben:ß = y Cos A -J~ a CosCund y = a Cos B —{— /3 Cos A.

Multiplicirt man die erste dieser drey Gleichungen durch a,die zweyte durch ß und die dritte endlich durch y, so erhält mana 2 = ay CosB -f- aß CosC |ß z = ßy Cos A -)- aß CosC ) .y 2 = ay Cos B -|- ßy Cos A )

Subtrahirt man endlich von der Summe je zweyer der dreyletzten Ausdrücke den dritten, so erhält man die folgendendrey Gleichungen:

a 2 = ß 2 -f- y 2 — 2 ßy Cos A 1

ß z = a 2 -)- y 2 — 2 a y Cosü j . . . (A);

y 2 = a 2 4- ß J — 2 aß CosC J