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das allgemeine Glied

§. 78 .

l/ = in(n-fi),

also ist auch, wenn man z. B. re= 100 setzt, das hundertste Glieddieser Reihe

5 o (101) = So 5 o.

Allein nichts hindert uns, für diesen Index nicht blofs ganze,positive oder negative Zahlen, sondern auch Brüche zu setzen,wo man dann diejenigen Glieder erhalten wird, die zwischen dieGlieder der gegebenen Reihe fallen. Man nennt diese neuenGlieder die eingeschalteten oder interpolirten Gröfsen.

So gibt unser Beyspiel, wenn man zwischen je zwey Glie-der der Reihe ein mittenliegendes einschalten will,für n = i- . . . V = ~,

5 3_5

a * * * 8 f

Z 6 3 „ f

so dafs daher die so interpolirte Reihe der Dreyeckzahlen seynwird

8 I 'S I »4 I 3 3 I «8 I 6 3 I 8o I

r — s r s e n r • • •>

und auch diefs ist eine arithmetische Reihe der zweyten Ord-nung , da ihre zweyten Differenzen constant und gleich j sind.

Da es aber sehr viele Reihen gibt, die, ohne eben zu denarithmetischen zu gehören, wenn auch nicht auf genau constante,doch auf nahe beständige höhere Differenzen führen , so läfstsich dieses Verfahren oft mit Vortheil auch auf solche Reihenanwenden, ohne dafs man ihr allgemeines Glied zu kennen braucht.

Betrachtet man nämlich eine solche Reihe, deren Differen-zen einmal nahe constant werden, als eine arithmetische Reihehöherer Ordnung, so erhält man für das allgemeine Glied der-selben (nach (J. 73 , I.) :

17 = a + (n-OAu + ■ <"- 0 A « fl

- 2) (n — 3 )

ci -J-* — 1) A d —|—

+

1 . 2

(n — 1) (n -

• A 3 a -j-

wo a das erste, dem Index i entsprechende Glied, vpid wo dieübrigen auf einander folgenden Glieder sind

1 a 3 4

cl b •■■J- c cl * » * j