§. 77.

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daher die letzte Reihe

übereinstimmend mit der Reihe (D) des (J. 61 .

§. 77. (Entwickelung der Functionen in Reihendurch die Methode der unbestimmten Coefficienten.)

Dasselbe Verfahren des 7 ( 1 . läfst sich auch auf die Entwicke-lung gegebener Functionen in Reihen anwenden.

Sey z. R. das ohne Ende fortgehende Polynoma -]- b x -f- c x z 4 - dx 3 -f- . . .gegeben, und die n te Potenz desselben durch eine, nach denPo-tenzen von x fortgehende Reihe darzustellen, oder seyy = (a -{- bx -j- cx 2 -j- . . .)"in eine Reihe der Form

y = a . -j- ß x -f- y x z -f- 6 X ’ 3 -j- . . >zu entwickeln, also die Gröfsen a, ß, y, . . . durch die be-kannten a, b, c, zu bestimmen.

Nimmt man von dem ersten Ausdrucke die logarithmischenDifFerentialien (nach §. 5z.), so hat man

dy n (b -f- <2 c x -}- 3 d x- -j- . . .) d xy a -J- b x -j- c x~ -j- ■ - .

Eben so hat man, wenn man auch den zweyten Ausdruckvon y differentiirt:

—- z= ß -4- üyx-{- 3bx 2 -f-...d x

cl y •

1 Setzt man beyde Ausdrücke von -j- einander gleich, so er-hält man

n (b 3 c x + 3 d x 2 -J- . . .) (a -j- ß x -J- y x l -|- . . .)

— (a b x cx 2 J) (ß 2 y x -\- 3 b x 2 — o.

Führt man aber diese zweyMultiplicationen aus, und ordnetdas Product nach den Potenzen von x, so erhält mano = (aß — nba)

+ (say 4 - bß — nbß — 2 nca)x

4 - (3aS4“ 2 ^J'“h c ß — nby — 2^1 cß — 3 n d «) x ! 4* •

•1