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70 .

§. 75 .

so dafsman für die Summe der ersten 1000 Glieder dieser Ileihehat

S = 5o()5o.

§. 7 5 . (Arithmetische Reihen der zweyten Ord-nung.) Für solche Reihen ist A 3 a = A 4 a .. . gleich Null, alsohat man (nach 72.) für das allgemeine Glied

U — a (n — i)Aa + j(n — i)(n— 2) A*a ,und eben so für das summatorische Glied dieser ReihenS — na -j- — i)Aa -|- {n(n — 1 ) (n — 2)A , a.

Ex. Die Reihen der sogenannten Polygonalzahlen sind:Zahlen des Dreyecks . . . 1 —{— 3 —{— 6 — J-. 10 —1 5 —(— 21 —{— ...

» » Vierecks . . . r -{- 4 -|- 9 —{— 16 —f— 2 5 —J— 36 -

» » Fünfecks . . . 1 —J— 5 —j— 12 —J— 22 —J— 35 —(— 5 1 —|— ...

» » Sechsecks . . . » —6 —i 5 —28 —]—45 —[— 66 —..

Für die Dreyeckszahlen ist demnach a=s 1, Aa = 2 undA ”-a = 1 , also auch

U = }n (n 1) und S — £ n (n -|-j) (re -f 2) ,und eben so hat man für die Viereckzahlen

U — n 2 und S = u. f.

§. 76. (Reversion der Reihen.) Oft wird eine Gröfsey durch irgend eine andere x mittelst einer Reihe der Formy = ax -j - hx " 1 -{- cx 3 -j- dx* - f- . . .gegeben, und man sucht umgekehrt die Gröfse x durch eine ähn-liche , nach den Potenzen von y fortschreitende Reihe auszu-drücken. — Nehmen wir an, die gesuchte Reihe sey von derGestalt

x = ay -f- ßy 2 -f yj 3 + 5j 4 -j- . . .,so dafs also die unbekannten Gröfsen d, ß, y, . . . durch diebekannten a, b, c, . . , zu bestimmen sind.

Zu diesem Zwecke entwickeln wir zuerst die Potenzen vona: 2 , x 3 , x 4 , . . . indem wir die zweyte unserer Reihen wieder-holt mit ihr selbst multipliciren. Dadurch erhält man

® = «JT + ßj 1 + 7J 3 + + • • .

x z = a - t y z -|- 2 aßy 3 -|- (2 ay -)- ß 1 )y*

x s = a 3 y 3 -f- 3a 2 /3 y* -J- . . .

# 4 = a 4 ^ 4 --J- . . ,