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§. ? 3 .

I. Mit Hülfe der letzten Gleichung kann man auch die Glie-der b , c , d, . . . der ersten gegebenen Reihe blofs durch daserste Glied a und durch die auf einander folgenden DifferenzenA a, A’a, A 3 <z, . . . ausdrücken. Man erhält nämlich

so dafs man also auch hier für das allgemeine oder für das n t0Glied U der oben aufgestellten Reihe, nach der Analogie mit demBinom, haben wird

II. Sucht man endlich noch auf ähnliche Weise auch dieSumme der ersten Glieder der gegebenen Reihe, so hat man fürdie Summe

der 2 ersten Glieder . , . . a-\- b = 2 a-)- Aa,

bar werden, und dafs man daher für die Summe der erstenn Glieder, d. h. für das summarische Glied. S einer jeden arithme-tischen Reihe den Ausdruck haben wird

wo für eine Reihe der i 8ton , z tea , 3 te ", . . . Ordnung die Diffe-renz As, A’a, A 3 a, . . . constant, und alle folgenden gleichNull sind.

In den beiden vorhergehenden Ausdrücken von U und S istdie ganze Theorie der arithmetischen Reihen irgend einer Ord-nung enthalten. — Wir wollen uns hier mit der näheren Be-trachtung der zwey ersten Ordnungen begnügen.

b a. —|— An,c = a-f- 2 An-j- A’a,d=a-j-3Aa-f- 3 A’a -f- A 3 a,e=a-j-4Aa-|- 6 a 2 a -j- 4A 3 a -f- A 4 a u.

rr , n —1 .

U a -j- -Aa -j-

n — i . n ■— 2

A 2 a

1 . 2

2 . n — 3

A 3 a +

» 3 » » . a-f-h-j-c — Sa-j-dAa-f-A^,

» 4 » » a-f-6-j-c-j-d=4 £ t _ j-6Aa-j-4A I a-(-A 3 a u. f.,

so dafs also auch hier die Coefficienten des Binoms wieder sicht-

S = na -{-

2 . 3

+

n.n — i .n — 2 ,n — 3

A 3 a -j— • • •,

i .2.3.4