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§• 75 .

§. 7 3 * (Arithmetische Reihen.) Eine Folge von Grös-sen, deren je zwey nächste immer dieselbe Differenz haben, isteine arithmetische Reihe der ersten Ordnung. Sind aber in ei-ner Reihe erst die Unterschiede dieser Differenzen oder sind erstdie zweiten Differenzen constant, so heilst sie eine arithmeti-sche Reihe der zweyten Ordnung, und eben so wird sie der drit-ten Ordnung seyn, wenn die Unterschiede der zweyten Differen-zen oder wenn erst die dritten Differenzen der Glieder constantsind , u. s. w.

So ist die arithmetische Reihe

I. . . . i, 3, 3, 4i • • • der ersten Ordnung,

II, . . , i , 3% 3% 4*, ... » zweyten »

III. . . , i , 3 3 , 3 3 , 4 3 ) • • • » dritten » u. f.,

weil alle ersten Differenzen von I. gleich i, alle zweyten von II.gleich 3, und alle dritten Differenzen von UI. gleich 6 sind.

Sey die arithmetische Reihe irgend einer OrdnungCL -j- b -j- c -j- d -j— 6 . . . ,

so hat man für die Differenz von je zwey nächsten Gliedern&'— a, c •— b , d — c, e — d, . . .und davon sind wieder die Differenzen

c — 2 b a, d — 2 c -j- &, e — ad -f c, ■ . .,und von diesen neuerdings die Differenzen

d — 3 c -j- 3 6 — a, e — 3 d -j- 3 c — b u. s. f.Nennen wir, der Kürze wegen, die ersten Glieder dieserDifferenzreihen A a, A 3 a, A 3 a, . . . so dafs man hat

A a — b — a ,

A-a = c — 2 b —{— n ,

A 3 a = d — 3 c —J— 3 ö — a,

A 4 a = e — 4 d -j- 6 c -— 4 b -j- a u. f.,

so zeigt schon der Anblick dieser Reihen, dafs die Coefßcientender einzelnen Glieder derselben die des Binoms (§. 58, I.) sind,so dafs man demnach allgemein für die n u Differenz A n a denAusdruck hat

.„ , , , n. n — i

A"a = a n b -f- - c

1 . 2.5

d +