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§• 70 .

das heifst, in a übergehen, so hat man, nach dem Taylor sehenLehrsatz ($. 56 .)

, du . (a — x ) 2 d 2 u

u = “ + O-*) • Tx + -777“-^+ • • •’

und eben so erhält man, wenn x in x -{- (a —x) oder in d

übergeht:

u" = u + («'— x) .

d u . (d —■ x ) 2dx ' 1-2

d z ud x"-

+ . . .

Je kleiner aber die Gröfsen (a — x) und (a — x) sind, dasheifst, je näher die beyden Hypothesen x~a und x — a derWahrheit liegen, desto mehr wird man auch, in den beyden vor-hergehenden Ausdrücken, die zweyten und höheren Potenzendieser Gröfsen, gegen die erste, in einer blofsen Annäherung,weglassen können, so dafs dann jene Ausdrücke sich blofs aufihre ersten Glieder, oder da u — u — w und u "—m = co' ist, aufdie beyden einfachen Gleichungen reduziren:

du ,

0} — (a — x) . —— undx ' dx

. , , x du

deren Division die Gleichung (I) wieder gibt.

Ex. Um die Wurzel der Gleichung

X — x 3 — 2 x —j— i = o 4

zu finden, hat man , wenn x = a = o .5 gesetzt wird , _X=o.i 25 ,und eben so wird x=a = 0.7 geben X = — 0.057. Setzt mandaher a — o .5 und gj = o.i35, so wie 11=0.7 und &>’— — 0.057,so gibt die Gleichung (II) für einen weiter genäherten Werth

x = a

la —■ u') a-;- = 0.5

CO - CO

-f- 0.137 = 0.637.

Setzt man daher in einer zweyten Berechnung a — 0.637,so findet man X=co= — o.oi 552 , und da, wegen dem negativenWerth von co dieses a noch etwas zu grofs ist, so kann man,a'= 0.620 annehmen, wodurch X= 10= — 0.00176 wird. Die-ses zweyte Hypothesenpaar gibt, durch die Gleichung (II) denneuen genäherten Werth

x = 0.637 — 0.0 »905 = 0.61795.