Kleinstes ist, so ist die Zahl der positiven Wurzeln derGleichungnicht gröfser als iV, und die Zahl der negativen Wurzeln nichtgröfser als N', und zugleich ist die Anzahl der imaginären Wur-zeln der Gleichung nicht gröfser als

m — (IV+ IST),

wenn die Gleichnng des m ton Grades ist.

So hat z. B. die Gleichung

x m -J- 1=0

alle ihre Wurzeln imaginär, wenn m gerade, und sie hat nureine reelle Wurzel, wenn m ungerade ist.

5- 7 °. (Genäherte Auflösung aller numerischenGleichungen-) Wenn eine numerische Gleichung X=o, inwelcher die Coefficienten von x gegebene Zahlen sind (§.69, I.),zur Auflösung vorgelegt wird, so ist es beinahe immer sehrleicht, durch blofse Versuche einen ersten, wenn auch nur sehrwenig genäherten Werth einer ihrer Wurzeln zu finden. Sowird man z. B. nach 69, II. sofort erfahren, dafs eine solcheWurzel zwischen x = A und x—B fällt, wenn die Summe allerGlieder derGleichung für x = A positiv, und für xz=B nega-tiv ist.

Sey demnach x-=.a. ein solcher genäherter Werth von x,Substituirt man ihn in der gegebenen Gleichung, so wird er diegegebene Gröfse X nicht auf Null bringen, da nur der wahreWerth von x, nämlich nur die eigentliche Wurzel der Gleichung,also noch nicht der blofs genäherte Werth derselben, die GröfseX gleich Null machen kann.

Nehmen wir also an, dafs wir durch diese Substitution vonxasa in der Gleichung, statt X=o, den Ausdruck erhalten

X = to,

wo 10 eine von Null desto weniger verschiedene Gröfse seyn wird,je näher bereits a dem wahren Werthe von x genommen wor-den ist.

Sey eben so a eine von a nur wenig verschiedene Gröfse,die also ebenfalls als ein zweyter genäherter Werth von x be-trachtet werden kann. Substituirt man diesen Werth x — d inder gegebenen Gleichung, so gehe diese über in

X =;