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§. 6g.

II. Wenn, wie in §. 66 , die Gröfsen a, ß, y, 5, . . . dieWurzeln einer Gleichung X=o bezeichnen, so ist, wie a. a.O.gesagt wurde,

X = o = (x — o) (x — ß)(x — y) (x — 5) . . .

Entwickelt man diese Producte, so hat man z. B. für jedeGleichung des vierten Grades

X = O = x* _— (a -j- ß -f- y -(- 6 ) x 3

-f- (oc /3 —oc y -}— a; ö -J— /3 y —/3 5 —y 5)

— (aßy -J- a ß & -f- ay5-J-|3y5) x-j- aßy 5.',

Vergleicht man aber diesen Ausdruck mit der allgemeinenForm einer Gleichung des vierten Grades, die nach §. 66 . ist:

X = o = A ' 4 -j- a a ? 3 -J- 6 x z -[- c x -{- d ,so erhält man für die Coeflicienten a , b, c, d folgende Werthe:

a — — (“ -f- ß -f- y + b)

b = -(- (<x/3-|-ay-|-a5-}-ßy-j-/35-py5)

C = — (ix ß y -|- a ß S a y 5 -{- ß y 5)d = -j- aßyö.

Ganz ähnliche Ausdrücke findet man auch für Gleichungendes 5 ten , 6 t0 “, . . . Grades u. f., und man hat daraus das Theoremabgeleitet:

»In jeder Gleichung der FormX = o = x m -[- a x m — 1 -f- b hx -j- h

»ist der Factor a des zweyten Gliedes gleich der Summe aller»Wurzeln der Gleichung, diese Wurzeln mit verkehrten Zeichen»genommen; der Factor b des dritten Gliedes ist die Summe aller»Paare oder aller Amben der so genommenen Wurzeln; der»Factor c des vierten Gliedes ist die Summe aller Ternen u. s. f.,»und der Factor k des letzten Gliedes ist das Product aller dieser»Wurzeln, dieselben mögen reell oder imaginär seyn.«

III. Wenn in derselben Gleichung X=o für x=-d derWerth von X positiv, und für x — B negativ wird, so liegt zwi-schen den beyden Gröfsen A uud B immer wenigstens eine reelleWurzel der Gleichung, vielleicht aber auch 3, 5, 7 , . . . oderüberhaupt eine ungerade Anzahl reeller Wurzeln.

Wird aber für x-=:A sowohl, als auch für x — B der Werth