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§. Ö8.

und dadurch sind demnach beyde unbekannten Gröfsen x und_ygefunden. Setzt man nämlich der Kürze wegenin = ab' — a b ,

so hat man

m . x = bc — U c undm.y = ac — de.

Man sieht, wie sich dasselbe Verfahren auf drey und mehrGleichungen der ersten Ordnung zwischen eben so viel Unbe-kannten fortsetzen läfst.

5- 68. (Auflösung der Gleichungen des zweyten

Grades.) Die Gleichungen des zweyten Grades oder die qua-dratischen Gleichungen sind sämmtlich in der Form enthalten:x 2 -J- a x -j- b = o,

oder auch

x- ax — — b.

Ware nun der erste Theil x 2 -f- ax dieser Gleichung ein voll-kommenes Quadrat, von dem sich die Wurzel in einem geschlos-senen Ausdrucke angeben läfst, so würde man den gesuchtenWerth von x ohne Anstand bestimmen, wenn man aus diesemTheile die Wurzel zieht.

Es ist aber immer leicht, diesen ersten Theil zu einem sol-chen Quadrat zu machen. Zu diesem Zwecke darf man nämlichnur den Factor a von x durch 2 theilen, und dann das Quadratdieses Quotienten oder die Gröfse ja" zu beyden Seiten der ge-gebenen Gleichung addiren. Dadurch erhält mana-- + ax -f ja* = \ci l — b,oder, was dasselbe ist:

O -f- ja) 2 = ja 2 — b.

Zieht man dann auf beyden Seiten des Gleichheitszeichensdie Quadratwurzel aus, so hat man

x -j- ja — + Vja 1 — bdas doppelte Zeichen wegen §. 3e, und daher auchx =: — j a +j\/ a 2 — 4 b;

und dieis ist die gesuchte doppelte Wurzel (§. 66.) der gegebenenquadratischen Gleichung

x 2 —a x b o.