Zwölftes Capitel.

Auflösung der Gleichungen.

§• 66. (Anzahl der Wurzeln einer Gleichung.)

Jede geordnete algebraische Gleichung des m lea Grades hat, nach$. 34 1 die Form

x m -f az m -' 4- bx m — i -f- . . . -{- hx -j- k = o,wo m eine ganze, positive Zahl, und wo a, b , c, ... h , kreelle und rationelle Gröfsen bezeichnen. Statt diesem Ausdruckewollen wir, der Kürze wegen, hier und im Folgenden

X = o

setzen. — Man kann eine solche Gleichung im Allgemeinen alsdas Product von m Gleichungen der ersten Ordnung, oder alsdas Product der m Factoren

( x — a)(x — ß)(x — y) . . .

ansehen, da dieses Product, wenn es entwickelt wird, die Ge-stalt der obigen Gleichung X=o annimmt. Da aber dieses Pro-duct, sowie jener ihm gleichgeltende Ausdruck X, gleich Nullwird , wenn man statt x die Gröfse a, oder ß , oder y , . . . setzt,so werden a, ß, y, ... nach §. 34; II., die Wurzeln der Glei-chung X=o seyn, und man sieht, dafs die Anzahl der Wurzelneiner algebraischen Gleichung des m Ua Grades gleich m seynwird. Diese Wurzeln können übrigens gleich oder ungleich,rational oder irrational und selbst imaginär seyn.

I. Ist aber die gegebene Gleichung nicht algebraisch, son-dern transcendent, so ist die Anzahl ihrer Wurzeln unendlichgrofs. So ist die Gleichung

o = a — e x ,

wo e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet, nach63. mit der folgenden Gleichung identisch,

x- 'X3 ,

o ss a

1 — x

■ . 2

. 3.3

♦ • 1