115

§. 65 .

das erste Glied in beyden Reihen völlig verschwindet, und woman daher, wenn man zu dem zweyten übergeht und bey dem-selben stehen bleibt, in beyden Reihen haben wird

, , A- ' d-u

u — u == -\ -. ——;

1.2 dx ‘

ein Ausdruck, der, da das Quadrat von h immer positiv ist, mit

derGröfse zugleich positiv oder zugleich negativ seyn wird.

Ist also du gleich Null, so wird für x-\-h sowohl, als auch fürx — h die Gröfse u gröfser oder kleiner als u seyn , je nachdemd z u negativ oder positiv ist, d. h. u wird in jenem Falle gröfser,und in diesem kleiner seyn, als alle ihm zunächst vorhergehen-den oder zunächst nachfolgenden Werthe von u.

Die Function u kann also nur dann ein Gröfstes oder Klein-stes seyn, wenn du — o ist. Sucht man dann aus dieser Bedin-gungsgleichung du = o den Werth von x , und substituirt ihn ind*u, so wird u, für diesen Werth von x, ein Gröfstes oderKleinstes seyn, wenn d z u negativ oder positiv ist.

Ist aber d l u ebenfalls, so wie du, gleich Null, so kann,wie zuvor, u nur dann ein Gröfstes oder Kleinstes seyn, wennauch noch d s u = o ist. Sucht man dann aus der letzten Gleichung:den Werth von x, und substituirt ihn in d*u, so wird u, für die-sen Werth von x, ein Gröfstes oder Kleinstes seyn, wenn d*unegativ oder positiv ist u. s. w.

Beyspiele werden diefs sofort deutlich machen.

Ex. I. Sey u = x z -\-/i ,r-J-2 gegeben, so hat man

du . .

^ ==2a7 + 4

. d 1 u

und —— = 2.d x-

Setzt man aber zx -{-4 gleich Null, so erhält man x — — 2, undda überdiefs d l u, für alle Werthe von x, positiv bleibt, so istdie gegebene Function u für x=s — 2 ein Kleinstes, nämlich selbstgleich —2,

Ex. II. Eben so gibt die Function u = x 3 -{- 3 x z — g;c-j-i8für ihre beyden ersten Differentiale

- = 3 x z bx — 9 und = bx -{- 6.

Aber die Gleichung du — 3 x z -^-bx — 9 = 0 hat die beydenWurzeln x = -j- 1 und x = — 3;

8 *