oder

112 §. 64 .

Eben so gibt ar = 3 und

Iog 3 = log* + « (g + ~ + ~ + • • •)log 3 = 1.09861 22887.

Auf dieselbe Weise findet man auch

log 5 =: 1.60943 79124»log 7 ss 1.94591 01490.

Hat man aber so bereits die Logarithmen von 2 , 3,5 und 7,so findet man die übrigen bis zu 10 durch folgende einfache Glei-chungen (§. 44.):

log 4 = 2 log 2, log 6 = log 2 -J- log 3,

log 8 = 3 log 2 , log 9 = 2 log 3 und

log 10 = log 2 -|- log 5 u. s. f.

Auf diese Weise erhält man z. B. den letzten dieser Loga-

rithmen , oder

log 10 = 2 . 3 o 258 50930 ...»

und diefs ist zugleich der Werth von der Gröfse —, die wir oben

m

(§.62, III.) durch eine langsam convergirendeRcihe bestimmt haben.

I. Bemerken wir noch, dafs die zwey in §.62. aufgestelltenAusdrücke für log(i -\-x) und für log-j- j —^ geben, wenn man inihnen x=z 1 setzt:

log 2 =1— i + i- J-f...

und log 00= 1+7 + T + 7+ ...»so wie zugleich die erste, für x=s — 1, gibt

“ lo S° = ‘+ 7+ 7 + 7 + . ••

Da aber der Logarithmus einer unendlich grofsenZahl ohneZweifel ebenfalls unendlich grofs ist, und da, wie aus den Glei-chungen

e~ “ = x oder u = — loga;folgt, die Gröfse — logo positiv und unendlich grofs ist, so istdie erste der drey vorhergehenden Reihen convergent, währenddie bey den anderen divergent sind, übereinstimmend mit §. 23 , II.

II. Man hat bereits mehrere Tafeln berechnet, welche diegewöhnlichen Logarithmen der natürlichen Zahlen enthalten.