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§. 63 . — 04 .

§. 63 . (Bestimmung der vorhergehenden Zahl e .)

Noch ist die Bestimmung des Werthes von e oder von der Basisder natürlichen Logarithmen übrig.

Da aber, nach dem Vorhergehenden, die Gröfse a in eübergeht, wenn m gleich der Einheit ist, so gibt die Gleichung(D) des §• 6i, wenn man in ihr m= i und daher a = e setzt,

= i -f- x -j-1-

1 1 I . 2 1 1

x 3

2. 3

+

/r 4

1 . 2 . 3 . 4

+ . • • (E),

also auch, wenn man in diesem Ausdrucke a?=i setzt,

e — t -f- i -—- -J-- -f- - tt—j • • •

1 1 1.2 1 1 . 2.3 1.2. 3.4

Berechnet man eine gröfsere Anzahl von Gliedern der letz-ten Reihe, so findet man

e = 2.718281 828459 045235 . . .eine sehr wichtige Zahl, auf die wir in der Folge noch öfter zu-rückkommen werden.

§. 64. (Berechnung der Logarithmen und Ge-brauch der logarithmischen Tafeln.) Nachdem wir in

dem Vorhergehenden die Theorie der Logarithmen vollständigkennen gelernt haben, wollen wir nun auch zu dem Gebrauchderselben übergehen, wie er bey unseren Rechnungen erfordertwird. Dazu aber ist es vor allem nothwendig, die numerischenWerthe dieser Logarithmen für alle natürlichen Zahlen 1 , 2,3 , 4, ... in einer Tafel aufgestellt zu haben. Diese zu finden,werden uns die vorhergehenden Ausdrücke mehr als ein Mittelan die Iland geben.

Setzt man z. B. in der letzten Gleichung des §. 60, I. dieGröfse x =jy= 1 , und nimmt man auch m = 1, so hat man fürdie natürlichen Logarithmen

lo S( A '+j) = 1 °g ;e + 2oder

jG4F)+§(4r) 3+ K^) + *"1

3 . 3 5

-|-L

~ 5 . 3 S ~

7 . 3 *

das heifst, wenn man diese Brüche in Decimalbrüclie auflöst:log 2 = 0.69314 71806.