§. 6o

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§. 60. (Entwickelung der Logarithmen.)

Function gegeben

u = Log(i -f *),so hat man, nach §. 5 s.:

also auch

Sey die

( d 2 u\ m /(i s ü\ ‘im

Hx 2 ) (i-|~*)-’ \dx 2 )

(P) = - u. f.

\dx*J

Setzt man in allen diesen Ausdrücken die Gröfse *=o,60 erhält man, nach Maclaurin’s Theorem, da Logi=o ist:

1 [ 7 = 0 , V— m , U"= —m, Z/"=2m, [/'"'=— 2 . 3 m, . . .also auch, wenn man diese Werthe von U , V', U", ... in derReihe (B) des das heifst, in dem Ausdrucke

u = 1/ -f * U' 4 - ^ IT -|-ü"'+ . . .

1 * 1.2 * 1 . 2.6 1

substituirt:

Log(.+«) = m(*_£ + f J + . . .) . . . (C),

und diefs ist die schöne und einfache Reihe, welche den Loga-rithmus jeder Zahl (i -j- A ’) durch diese Zahl x selbst ausdrückt.

I. Man kann der gefundenen Reihe mehrere verschiedeneGestalten gehen, die sie zur Berechnung der Logarithmen be-quemer machen.

Setzt man z. B. in ihr statt der willkürlichen Gröfse x dieGröfse — x, so erhält man

LogO-*) = - m(x + j J ~ + • • •)•

Subtrahirt man aber diese beydenReihen von einander, undbemerkt man, dafs nach §. 44, III.

lo gJf — logz =

ist, so hat man

Log — = 2m j* + - +

Setzt man endlich in dem letzten Ausdrucke statt * die

l°gf

* 3 , x 7

Y + 7 + ‘