§. 58 .

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und diese Entwickelung der Function (a: y) n ist unter dem

Namen von Newtons Binom bekannt.

Das Gesetz des Fortganges der Reihe ist auch hier für sichklar. So ist das nächstfolgende oder vierte Glied, wenn das erstedas o to heifst:

n (n — i) («— 2) (n — 3 )1 . 2 . 3 . 4

-v»

und so ist auch, wenn r irgend eine positive ganze Zahl bezeich-net, das r t0 Glied dieser Reihe

n (n — i)(n — 2)(n — 3 ) . . . (n — [r— 1]) _ r

1 . 2 . 3 . . . (1-1) r ’ ^

Man sieht, dafs diese Reihe abbricht oder endlich ist, wenn neine ganze, positive Zahl ist.

I. Setzt man in dem vorhergehenden Ausdrucke für n nachder Ordnung die natürlichen Zahlen 1, 2 , 3, ... so hat manfür x = 1

0 -kr) = ' 1 +.T*

( 1 4-jr)’- = » + 2 y +j' t ,

(‘ -hr) 3 = 1 + & + ty 2 +3'\

( 1 + j) 4 = » + 4r + V 2 + 4r 3 +y\

0 -Kr) 5

1 + ty + 1 °y* + 10 j 3 + 5 y* +.r 5 >

0 -hr) 0 = > + Qr + 'fy' 2 + 20 z 3 + l5 .r 4 + b f 5

welche Reihen, selbst wenn ihre allgemeine Form durch dasVorhergehende noch nicht gegeben wäre, sich leicht fortsetzenlassen, da jedes Glied gleich dem zunächst über ihm stehendenund dem diesem vorhergehenden Gliede ist. So ist

6 = 3 + 3,i o — 6 -j— 41i5 = 10 -{- 5 u. f.

II. Ist die Gröfse y negativ , so erhält man

. •. , n(n — 1) , ,

(.r — yy 1 = x n — nx n ~‘y -j--:— x^^y —

III. Setzt man in der gefundenen Entwickelung

ax

y =

also auch

* + y =

1 — a