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§• 58 .

Statt liat, und da die Gröfsen 17, U', V", . . . kein^ enthalten,so kann man in demselben auch x statt y setzen, so dafs mandemnach für jede gegebene Function u t=>f(x) von x den Aus-druck hat

für den Fall ,r = o bezeichnen.

Dieser Ausdruck, der, wie man sieht, nur eine Modifica-tion des Taylor sehen Theorems ist, wird der Lehrsatz Maclau-rinf, genannt.

Beyde Theoreme sind von dem wichtigsten Einflüsse auf dasganze Gebiet der mathematischen Analysis, besonders aber aufdie Entwickelung der verschiedenen Functionen, wie wir sogleichnäher zeigen wollen.

§.58, (Entwickelung des Binoms.) Sey die Function

gegeben, wo x eine veränderliche, und n eine constante will-kürliche Zahl bezeichnet. Man suche den Werth dieser Func-tion, wenn die Stammgröfse x derselben in x-\-y übergeht, oderman suche

und wenn man von diesem Ausdrucke wiederholt das Differen-tial nimmt, und dx constant voraussetzt:

U -f x . V -j-

wo wieder 17, 17', U", ... die Werthe von u

du d- u

“ = / O) = x‘

,n

u ' = f(x+y) = (x+y) n .

Nach §. 5i. hat man

( S ) = ”("-0

(S)= "(»-•)(»-*)

Substituirt man diese Werthe von (jj —^, C^ - ^)’ * * ♦ inder Gleichung (A) des §. 56., so erhält man

(x + . 7 )

n (n —i) (n — 2 )