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§• 57.

III. Ist endlich der Zuwachs der Stammgröfse x, den wirbisher allgemein durch y bezeichnet haben, gleich dem Diffe-rential dx dieser Stammgröfse selbst, so wird man in der Glei-chung (A) die Gröfse y = dx setzen, wodurch man erhält

f(x + dx) —fx = d.fx + ——d i .fx -|- d 3 .fx + . . .,

oder auch, nach dem zweyten Ausdrucke der Gleichung (A) :

u — u = d u 4- — d 2 u -I-- d 3 u 4- . . .,

* 1.2 * 1 . 2.3

und diefs ist demnach der vollständige Zuwachs der Functionu-=fx, wenn x in seinen nächstfolgenden Werth x-\-dx über-geht. Da aber jedes Glied dieser Reihe gegen sein nächstvor-hergehendes unendlich klein ist, so werden, dem oben (§. 47, I.)aufgestellten Princip der Differentialrechnung gemäfs, alle Glie-der'dieser Reihe, bis auf das erste, verschwinden, wodurch manerhält

f(x + dx) — fx = d .fx

oder

u — u == du, wie zuvor.

5. 57. (Maclaurin’s Lehrsatz.) Wenn man in derReihe (A) des vorhergehenden §. 56. sowohl in dem Ausdruckej{x), als auch in den Differentialcoefficientend.fx d 2 .fx d^.fxdx ’ d x 2 ’ d x* ’

nach vollbrachter Differentiation, die Stammgröfse a’ = o setzt,und wenn man, der Kürze wegen, die dieser Annahme von a.- = oentsprechenden Werthe von

u oder fx

d u

d .fx

dx

d x

d z u

d'- fx

dx 2

d x-

bezeichnet,

so geht

die Reihe

/(•*•'+7) gleich f (y)

wird , in

f (7) =

V +7 •

V + H

durch

U,

U\

V" u. f.

,r

—. u"+ . . .

.. i ..2.0

Da dieser Ausdruck für jeden willkürlichen Werth von y