oder auch, wenn man wieder, der Kürze wegen,

fx = u und f(x -j-J') = wsetzt: .

“'= “ +^(S) + + T^Tä(lJ) + • • • < A >'

I. Von dieser Reihe, die nach ihrem Erfinder unter derBenennung des Theorems von Taylor bekannt ist, ist das einfa-che Gesetz des Fortganges der Glieder für sich klar, und siezeigt uns die zwey sehr merkwürdigen Eigenschaften der Ent-wickelung einer jeden Function ./(.z), wenn man in ihr dieStamm-gröfse x in x-\-y übergehen läfst: dafs erstens diese Entwicke-lung durch eine Reihe dargestellt wird, die nach den natürlichenPotenzen o, 1 , 2 , 3, . . . der Gröfse y fortgeht, und dafszweytens jedes einzelne Glied aus dem ihm unmittelbar vorher-gehenden ganz auf dieselbe Art und durch dasselbe Verfahrenabgeleitet wird, wie dieses vorhergehende Glied selbst wiederaus dem ihm vorhergehenden entstanden ist. Das zweyte Gliedist nämlich der Diflferentialcoefficient des ersten, multiplicirt indie Gröfse y ; das dritte ist eben so das Differential des zweyten,multiplicirt in ^y\ das vierte ist das Differential des dritten, mul-tiplicirt in \y u. s. f., so dafs es daher schon genügt, von jedergegebenen Function J"(x) das e"ste Differential zu kennen, umdaraus auch sofort die Entwickelung von f(x-\-y) abzuleiten,wo y jede willkürliche, constante oder veränderliche Gröfse be-zeichnet. Aus dieser Ursache haben wir auch in dem vorherge-henden zehnten Capitel das erste Differential der verschiedenenGattungen von Functionen

f(x) . . . x m , log x , a x , . . .die wir bisher kennen gelernt haben, aufgesucht, um sie, wiewir sogleich näher sehen werden, zur Entwickelung der Func-tion f(x -\-y) zu verwenden.

II. Bemerken wir noch, dafs, wenn in der gegebenen Func-tion f(x) die Gröfse x, statt zu wachsen, wie wir bisher ange-nommen haben, um die Gröfse^ abnimmt, dafs dann diese Gröfsey in der Gleichung (A) negativ genommen wird, so dafs manalso für den so veränderten Zustand der Function f(x) hat

„A —j x _ v f±f£\ j_ -2l f dl -f x \ _r 3 j_