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§• 56.

den, wenn man nämlich, wie hier vorausgesetzt wird , das ersteDifferential dx der Staimngröfse der aufgestellten Function alseine gegebene oder unveränderliche Gröfse betrachtet.

I. Diese Voraussetzung, dafs bey dem Übergänge zu denhöheren Differentialien einer Function das erste Differential derStammgröfse, oder dafs überhaupt irgend ein erstes Differentialals constant angenommen werde, ist selbst nothwendig, weil sonstdie Werthe von d z u, d 3 u, . . . keine bestimmte Bedeutung mehrhaben könnten. Hätte man z. B. den Ausdruck

x- d- x' d X* ’

worin kein erstes Differential als constant angenommen ist, sowird derselbe, wenn man dx = Const., also d 1 x = o nimmt,den Werth o annehmen. Hätte man aber irgend ein anderes er-stes Differential, z. B. d.x- = Const. oder zxdx = Const. an-genommen, so wäre

2 dx 1 4- 2 x d l x = o oder —— = —

dx- x

und daher der Werth des oben gegebenen Ausdruckes gleich— x. Eben so würde man für diesen Werth :—ctx linden, wennman d.x 3 = 3a.’* dx = Const. oder bxdx* -}- 3x' l d 3 x = o an-genommen hätte, u. s. w.

§. 56. (Taylor’s Theorem.) Sey u =f(x) als eine

Function von x gegeben. Wenn in dieser Function die Stamm-gröfse x in x -\-y übergeht, welches wird dann der Ausdruckder so veränderten Function u = f(x seyn?

Die Beantwortung dieser Frage enthält das hier in Bedestehende Theorem.

Um diese Antwort zu geben, bemerken wir zuerst, dafseine willkürliche Function von dev Summe zweyer Gröfsen x-\-y,dafs z. B. die Function

0+jr) m > oder log^-J-j-) oder <i' r + :r u. f.immer denselben Differentialcoefficienten geben wird, welche vonden beyden Gröfsen x oderjy man auch als die einzige Veränder-liche betrachten mag. Ist z. B.

u =s (x-fjr)" £