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§• 52.

und da (nach §. 49-) für das Differential eines Pi’oductsd . (xy) = x dy -j- y d xist, so kann die unmittelbar vorhergehende Gleichung auch sodargestellt werden:

d . Log (xy) = (xdy + ydx) .f(xy) . . . (b).

Setzt man beyde Werthe von d.T-iOg(xy) aus den Glei-chungen (a) und (b) einander gleich, so erhält man[jJ( x 0 ) —fx]dx + [x .f(xy) —fy]dy= o . (I),

und diese Gleichung ist es wieder, die uns die nähere Kenntnifsder Function fix) verschaffen wird.

Setzt man nämlich in der Gleichung (I) die willkürlicheGröfse i ^ = a. > , so erhält man sofort

a? .f(x l ) = f(x).

Setzt man dann in derselben Gleichung (I) dieGröfse t 7 = ar 2 ,so gibt sie

3* 2 ./(a- 3 ) — 2 x.f(x z ) —fx = o,oder da bereits der Werth von x./fx 11 ) =3f(x) bekannt ist, sohat man auch

x*.f(x 3 ) = f(x).

Setzt man diefs fort, so findet man

für y —■ x • • • x — S0*0 9

» y=zx . . . x-.f(x 3 ) —f(x),

» y=z3x . . . a? 3 ./(a.- 4 ) =f(x) u. s. f.,

und diese einfachen Gleichungen zeigen, dafs man für jede ganzeund positive Zahl r die Gleichung hat

* r ~'.f(xr) =/(*),

oder auch, wenn man zu beyden Seiten durch x dividirt:x r .f(x r ) = x.f(x),woraus sofort folgt, dafs der Ausdruck

x.f(x)

sich nicht ändert, wenn man auch statt x irgend eine ganze po-sitive Potenz x r in ihm substituirt, das heifst, dafs der Ausdruckx.f(x) ganz unabhängig von x, und daher, wie in Jjj. 5i ( , irgendeine conslante Gröfse seyn mufs.

Nennt man M diese Constante , so hat man