90 §. 52 .

wenn man in ihr ebenfalls m= i selzt, da a -0 = i ist:

/(' , x) = A,

woraus daher folgt, dafs A=i und dafsf (in , x) = m x m — 1

eeyn mufs, welchen Werth auch die Gröfsc m haben mag.

Substituirt man endlich diesen Werth von f(m, x) in derallerersten der vorhergehenden Gleichungen , so erhält mand. x m = mx m — 'dx ,

das heifst: das Differential einer Potenz ist immer gleich dem Pro-ducie des Exponenten in die um die Einheit nächst niedere Potenz,und in das Differential der PFurzel dieser Potenz. Damit stimmtdas überein, was wir oben ($. 48, II.) blofs für diejenigen Po-tenzen gefunden haben, deren Erponenten ganze und positiveZahlen sind.

§. 52. (Differential eines .Logarithmus-) Das Dif-ferential des Logarithmus irgend einer veränderlichen Gröfse xwird, welches auch sein näher bestimmter Ausdruck seyn mag,die folgende Form haben, wenn man die Logarithmen der Basisa nimmt (§. 43 .)

d. Log x — /OD . d x.

Da in dieser Gleichung die Gröfse x ganz willkürlich ist,eo wird man auch y dafür setzen können, wodurch man einezweyte Gleichung

d . Logy = f(y) . dyerhält. Beyder Gleichungen Summe gibt

d . [Log x -f- Log7] = fx . dx fy . dy.

Aber nach der oben (§. 44, II.) aufgestellten Eigenschaftder Logarithmen überhaupt hat man

Log x -f Log y — Log (xy),

und dadurch geht die vorhergehende Gleichung in folgende über:d • Log (xy) =Jx.dx -\-fy.dy . . . (a).

Allein die erste der vorhergehenden Gleichungen gibt auch,wenn man in ihr statt der willkürlichen Gröfse x das eben sowillkürliche Product xy selzt:

d , Log (xy) = f(xy ) d. (xy);